Deeper understanding of the homography decomposition for vision-based control

The displacement of a calibrated camera between two images of a planar object can be estimated by decomposing a homography matrix. The aim of this document is to propose a new method for solving the homography decomposition problem. This new method provides analytical expressions for the solutions of the problem, instead of the traditional numerical procedures. As a result, expressions of the translation vector, rotation matrix and object-plane normal are explicitly expressed as a function of the entries of the homography matrix. The main advantage of this method is that it will provide a deeper understanding on the homography decomposition problem. For instance, it allows to obtain the relations among the possible solutions of the problem. Thus, new vision-based robot control laws can be designed. For example the control schemes proposed in this report combine the two final solutions of the problem (only one of them being the true one) assuming that there is no a priori knowledge for discerning among them. Key-words: Visual servoing, planar objects, homography, decomposition, camera calibration errors, structure from motion, Euclidean reconstruction. ∗ Ezio Malis is with INRIA Sophia Antipolis † Manuel Vargas is with the Dpto. de Ingenieria de Sistemas y Automatica in the University of Seville, Spain. Mieux comprendre la decomposition de la matrice d’homographie pour l’asservissement visuel Résumé : Le dplacement d’une camra calibre peut tre estim partir de deux images d’un objet planaire en dcomposant une matrice d’homographie. L’objectif de ce rapport de recherche est de proposer une nouvelle mthode pour rsoudre le problme de la dcomposition de l’homographie. Cette nouvelle mthode donne une expression analytique des solutions du problme au lieu des solutions numriques classiques. Finalement, nous obtenons explicitement le vecteur de translation, la matrice de rotation et la normale au plan exprims en fonction des lments de la matrice d’homographie. Le principal avantage de cette mthode est qu’elle aide a mieux comprendre le problme de la dcomposition. En particulier, elle permet d’obtenir analytiquement les relations entre les solution possibles. Donc, des nouveaux schmas de commande rfrence vision peuvent tre conus. Par exemple, le mthodes d’asservissement visuel proposes dans ce rapport combinent les deux solutions de la dcomposition (une seule des deux est la vraie solution) en supposant qu’il ne pas possible de distinguer a priori quelle est la bonne solution. Mots-clés : Asservissement visuel, objets plans, homographie, dcomposition, erreurs de calibration de la camra, reconstruction Euclidienne Deeper understanding of the homography decomposition for vision-based control 3